반군∥

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우선, 위의 그림의 ∠A=60˚, ∠B=30˚, ∠C=90˚이고 선분 AD는 ∠A의 이등분선입니다.
그림에 써있는 소문자들은 변의 길이이구요.
그럼 증명 시작합니다.

△ADC∽△BAC 이므로
a:e=c+b:d
∴ c^2 + bc = ad  ─ ①식

점D는 ∠A의 이등분선과 선분 BC의 교점이므로
a:d=b:c
ac=bd
∴ d = ac/b ─ ②식

①식에 ②식를 대입하면
c^2 + bc = (a^2)c/b
∴ c + b = (a^2)/b ─ ③식

△ADC에서 피타고라스 정리에 의해
a^2 + b^2 = e^2
△ABD가 이등변삼각형이므로 e=c, 대입해 정리
∴ a^2 = c^2 - b^2 ─ ④식

③식에 ④식을 대입하면
c+b=(c^2 - b^2)/b
bc + b^2 = c^2 - b^2
c^2 - 2(b^2) - bc = 0
(c^2 - b^2) - (b^2 + bc) = 0
(c+b)(c-b)-b(b+c)=0
(b+c)(c-b-b)=0
∴ (b+c)(c-2b)=0

그런데 c=e이므로
(b+e)(e-2b)=0
∴ b+e=0 이거나 e-2b=0 이다.
하지만 b,e 모두 양수이므로 e-2b=0 만 가능하다.
∴ e=2b

피타고라스 정리에 의해
a=(√3)b


결론 >>
b : e : a = 1 : 2 : √3

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이상 끝입니다.
뭐, 어려운 것은 아니었습니다만 풀고나니까 왠지 기분 좋았습니다. 잇힝~